Arranjos com e sem repetição

Arranjos com e sem repetição

  1. Princípio fundamental da Contagem
  2. Fatorial de um nº natural
  3. Arranjos
    1. Arranjos simples sem repetição
    1. Permutações
    1. Arranjos com repetição ou arranjos completos
  4. Combinações
  5. Triângulo de Pascal
  6. Binómio de Newton
  1. Princípio fundamental da contagem
  1. O Luís possui 3 casacos, 6 camisas e 8 pares de calças de ganga.

Sabendo que vai sair para a escola vestindo 1 camisa, 1 par de calças e 1 casaco de quantas formas se pode vestir assumindo que todas as peças de vestuário são diferentes.

3 X 6 X 8 = 144 maneiras diferentes

2. A Sandra vive numa margem do rio e a escola que frequenta encontra-se na outra margem. Para atravessar terá que passar por uma ilha que tem uma ligação por 2 pontes à ilha e existem outras 3 pontes que ligam a ilha à escola.

De quantas formas pode a Sandra ir de casa para a escola?

princípio da contagem

A Sandra pode percorrer um total de 6 caminhos.

3. Num restaurante, a ementa é constituída por 4 entradas, 12 pratos de carne, 6 pratos de peixe e 5 sobremesas.

O João foi almoçar e pediu um prato de peixe, 1 entrada e 1 sobremesa o Luís pediu um prato de carne, 1 entrada e 1 sobremesa.

De quantas formas diferentes podem o João e o Luís fazer a sua escolha.

João: 4 X 6 X 5 = 120 maneiras diferentes

Luís: 4X12X5 = 240 maneiras diferentes

4. O Ricardo é Bloguer, reparou que está a escrever um artigo que já existia uma publicação semelhante. Sabendo que alterando a ordem das palavras é possível criar um novo artigo diferentes.

Sabendo que o artigo tinha 3 palavras A B C, de quantas formas o pode fazer?

A B C, A C B; B C A; B A C; C A B; C B A, total de 6 formas de escreve um título com 3 palavras.

  1. Fatorial de um número

Designa-se fatorial de um nº natural n e representa-se por n! ao produto dos n primeiros números naturais.

n! = n(n-1)(n-2)X…2×1

Por exemplo:

6! = 6x5x4x3x2x1 = 720

Sem repetição.

5 pessoas em fila: 5 4 3 2 1, 120 maneiras. Cada lugar se for previamente preenchido fica menos 1 lugar na situação seguinte.

Por exemplo numa prova de natação participaram 9 nadadores. Se todos terminarem a prova com tempos distintos de quantas formas são as classificações possíveis?

Existe um conjunto de nove concorrentes e o nº de maneiras de os ordenar é igual a permutações de 9.

9! = 362 880. 9! = 9X8X7X6X5X4X3X2X1

Exemplos:

  1. Numa prateleira vão ser colocados lado a lado 14 livros diferentes.
    1. De quantas formas é possível ordenar os livros na prateleira?
    1. De quantas maneiras é possível ordenar os livros na prateleira se os dois maiores ocuparem os extremos

Resolução:

Arranjos sem repetição

Exemplo numa corrida existem 6 atletas a disputar os primeiros 3 lugares.

Por cada lugar ocupado vão diminuindo as hipóteses seguintes.

De quantas formas diferentes se podem dispor os atletas pelos 3 primeiros lugares.

Arranjos com e sem repetição
Arranjos sem repetição
Exemplo de permutação de n elementos

Designam-se permutações de n elementos a todas as sequências diferentes que é possível obter com os n elementos.

Arranjos com e sem repetição
permutação de n elementos

Temos uma fila com 4 pessoas para ocuparem 4 lugares sentados. A forma de distribuição P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 hipóteses.

Permutações circulares

Dado um conjunto com n elementos, o nº de permutações circulares do n elementos é da por Pn/n = (n-1)!

Exemplo:

De quantas maneiras diferentes se podem sentar 10 pessoas à volta de uma mesa circular se:

a) os lugares forem numerados?

b) os lugares não forem numerados?

Resolução:

a) Se os lugares da mesa forem numerados, a primeira pessoa que se vai sentar tem 10 hipóteses, a segunda pessoa tem 9 hipóteses, a terceira tem 8 hipóteses e assim sucessivamente, até à décima pessoa que tem 1 hipótese.

Portanto, existem 10! = 3 628 800 maneiras diferentes de ocupar os 10 lugares.

b) Se os lugares da mesa não forem numerados, o que interessa é a posição relativa de cada pessoa, ou seja, depois de sentarmos as 10 pessoas podemos “rodá-las” de 10 maneiras sem que a posição relativa se altere.

Portanto, existem 10!/10 = 9! = 362 880 maneiras diferentes de ocupar os 10 lugares.

Caso não exista numeração 1 dos lugares serve de posição relativa.

Por exemplo numa mesa com 13 pessoas não numeradas o nº de hipóteses é (13-1)! = 12!

Arranjos com repetição ou arranjos completos

Verificam-se quando o nº de lugares por cada opção se mantém o mesmo.

Por exemplo se lançarmos 4 vezes um dado quais são os casos possíveis?

Temos 64 casos possíveis

Se for uma moeda lançada 5 vezes, temos 2^5 casos possíveis.

No jogo Totobola, por cada aposta temos 3 resultados 1 X 2, tendo 13 apostas. O total de possibilidades é 3^13 são as hipóteses de aposta.

Em resumo

Arranjos com e sem repetição

Exemplos de aplicação

Exemplo nº 1

O código de um cofre é constituído por uma sequência de 5 números, não havendo nenhum zero na sua constituição.

Quantos códigos podem ser constituídos?

Resolução:

Exemplo nº2

De quantas maneiras distintas podem ficar sentados cinco rapazes e quatro raparigas, num banco de nove lugares, de tal modo que as raparigas fiquem todas juntas numa das extremidades.

Exemplo nº 3

Com as letras da palavra BIOLOGIA, quantas palavras, com ou sem sentido (anagramas) se podem escrever?

A) 10080; B) 20160; C) 40320; D) 161280

Exemplo nº 4

Um grupo de seis amigos, Ana, Beatriz, Carla, Ricardo, Pedro e Luís, dispuseram-se lado a lado para uma fotografia.

O Luís e a Carla são namorados, de quantas formas podemos tirar a fotografia de modo que os dois fiquem juntos?

Exemplo nº 5

A Teresa escolhe aleatoriamente um código constituído por 5 digitos. Por exemplo 32426.

Admitindo que os digitos são atribuídos ao acaso quanto códigos diferentes podemos obter.

a) com os digitos todos diferentes

10X9X8X7X6 = 30 240

b) podendo os digitos serem todos iguais

10X10X10X10X10 = 100 000

Exercícios de Revisão

Exercício nº 1

Exame 1999 1ª Fase

Exercício nº 2

Exame 1997 1ª Fase

Exercício nº 3

Exame 1997 2ª Fase

Exercício nº 4

Exame 1997 Prova Militar

Exercício nº 5

Exame 2003 época especial

Exercício nº 6

Exame 2004 2ª Fase

Exercício nº 7

Exame 2004 especial

Exercício nº 8

Quantos códigos de Multibanco, que tenha os algarismos todos diferentes, é possível formar?

A) 10 000 B) 1000 c) 5040 D) 10 080

Exercício nº 9

Exame 2008 época especial

Exercício nº 10

Exame 2009 época especial

Exercício nº 11

Um código é constituído por uma sequência de 3 vogais, seguidas de 2 algarismos. Quantas possibilidades diferentes há para o código?

Exercício nº 12

Quantos números naturais, escritos com algarismos todos diferentes, existem entre os números 1000 e 3000?

Exercício nº 13

Exame 2010 época especial

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