Introdução aos números complexos

Introdução aos números complexos

Introdução aos números complexos

Origem dos números complexos

Existem determinadas equações que em IR não tinham solução daí o aparecimento dos números imaginários como forma de solução para estes problemas impossíveis em IR.

Introdução aos números complexos
introdução aos números complexos

Forma algébrica de um número complexo

Z = a + bi

(a: parte real e b: parte imaginária)

número complexo na forma algébrica, representação de um nº complexo diagrama de Argand
número complexo na forma algébrica

número complexo na forma algébrica, simétrico e conjugado do número complexo

Re(z), parte real do complexo (eixo Ox, corresponde ao Re(z))

Im(z) parte imaginária do complexo. (eixo Oy, corresponde ao Im(z)).

Por exemplo: z = 2 + 3 i Re(z) = 2 e Im(z) = 3

Conjugado e simétrico de um número complexo

Conjugado de Z = a – bi

Z = 2 +3i, o conjugado de Z = 2 -3i (muda o sinal da parte imaginária)

simétrico de Z = – Z = -2 + 3i (muda o sinal da parte imaginária e muda o sinal da parte real).

Introdução aos números complexos
número complexo, simétrico e conjugado na forma algébrica

Parte real e parte imaginária de um nº complexo na forma algébrica.

Introdução aos números complexos
Números complexos na forma algébrica
Introdução aos números complexos
Parte real e parte imaginária de um nº complexo na forma algébrica.

Adição e subtracção de números complexos na forma algébrica

Introdução aos números complexos
Adição e subtracção de números complexos na forma algébrica

(3 + 9i) + (6 -4i) = (3+6) + (9-4)i = 9 + 5i

(2 + 5i) – (3 + 2i) = (2-3)+ (5-2)i= -1 + 3i

Para somarmos números complexos somamos a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária, sempre em separado.

Exemplo 1

Introdução aos números complexos
Adição e subtracção de números complexos na forma algébrica

Potenciação de números complexos

Potenciação de números complexos

i^2 é um termo de referência pois i^2 = -1. Usamos também i^4n como termo de referência pois todos os valores de i com expoente múltiplo de 4 são iguais a 1. Por exemplo i^20 é do tipo i^4n, logo é igual a 1. Se tivermos i^19 = i^16 x i^3 = i^3 = -i

Por exemplo:

Exercícios de revisão

cálculo de potências de números complexos

Multiplicação de números complexo na forma algébrica

Introdução aos números complexos
Produto de 2 números complexos

(a+bi)*(c+di) = ac + adi + bci+bdi^2= (ac -bd) + (ad + bc) i

Aplicação dos casos notáveis da multiplicação aos números complexos

Introdução aos números complexos
Aplicação dos casos notáveis da multiplicação aos números complexos

Divisão de números complexos

Divisão de números complexos

(3 + 2i) / (1+ 5i) = [(3+2i)*(1-5i)] / [(1 +5i)*(1-5i)] = (3 – 15i + 2i – 10i^2)/(1- (5i)^2) ) = [(3+10) + (2-15)i]/(1 – 25i^2) = (13 -13i)/26 = 1/2 – 1/2i

Quando dividimos dois números complexos na forma algébrica devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Módulo de um nº complexo

Módulo de um nº complexo

Imaginário Puro

Re(Z) = 0 e Im(Z) diferente de zero

Ex: 0 – 3i = -3i, imaginário puro

Real

Im(z) = 0

Exemplo:

0 + 0i = 0, real

3 +0i = 3, real

Exercícios saídos em Exames

Ficha Preparação para Exame Trigonometria e Complexos

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Ver também:

https://www.matematica.pt/aulas-exercicios.php?id=77

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